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By Daniel Guin; Thomas Hausberger

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2. Soient G un ensemble muni d’une loi de composition interne, R une relation d’équivalence définie sur G et G/R l’ensemble quotient de G par la relation d’équivalence R. Alors la loi interne de G induit une loi interne sur G/R, (x, y) → xy (où pour z ∈ G, z désigne la classe d’équivalence de z) si et seulement si R est compatible avec la loi de G. Démonstration. 1). 1. Si la relation R est compatible avec la loi de G, la loi induite sur G/R par celle de G est définie par x y = xy. Il est clair que si la loi de G est associative (resp.

En déduire qu’un sous-groupe d’un groupe cyclique est un groupe cyclique. 6. Montrer que si G = x est un groupe cyclique d’ordre n, si k est un entier relatif et si h = pgcd(k, n), alors xk et xh engendrent le même sous-groupe. 1) montre que si G est un groupe fini, l’ordre de tout sous-groupe H de G divise l’ordre de G. En général, si d est un diviseur quelconque de l’ordre de G, il n’existe pas de sous-groupe H de G d’ordre d. B que le groupe A4 , qui est d’ordre 12, n’a pas de sous-groupe d’ordre 6.

Un élément σ ∈ Sn est un r-cycle, ou cycle de longueur r, s’il existe un ensemble ordonné de r entiers distincts dans [n], {i1 , . . , ir }, tel que σ(i1 ) = i2 , . . , σ(ij ) = ij+1 , . . , σ(ir ) = i1 ∀k ∈ {[n] − {i1 , . . , ir }}, σ(k) = k. On remarquera qu’un 1-cycle est nécessairement l’identité et qu’un 2-cycle est une transposition. e. de longueur maximale). 4. Montrer qu’un r-cycle est un élément d’ordre r dans Sn . 5. e. non réduite à un point). Le cardinal de cette orbite est égal à r.

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